一言以蔽之：簡單地介紹BSIM3裡面的carrier mobility、threshold voltage、saturation current。
在上期文章中，我們介紹了BSIM model的故事。在這一篇文章，我們來看看BSIM3 model到底做了什麼。之所以用BSIM3而不是更新的版本來介紹，是因為BSIM3 對於一個電機系的畢業生來說，還不算是太難懂。
本文挑選了三個參數，簡單地解釋它們在BSIM3內的模型。以下公式全部來自Yuhua Cheng, Chenming Hu; MOSFET modeling & BSIM3 user’s guide。
Carrier Mobility（載子遷移率）
mobility μ分成electron mobility和hole mobility二種，其中在silicon內的電子遷移率大約是1000cm^2/(V*s)、而電洞遷移率大約是450cm^2/(V*s)，這些數字是大概的order，真正的數字跟doping level有關。
在BSIM3，carrier mobility μ公式如下：
傳統上，我們假設mobility是常數μ0，但實際上mobility不是常數，所以分母是(1+修正項)，有個修正項。
或許可以這樣理解：當我們背誦唐詩十分鐘，可以記下一首詩；當我們背誦廿分鐘，可以記下二首詩；當我們背誦一百分鐘，卻只可以記下八首詩，這是因為記憶飽和了。
同樣地，當gate bias變大的時候，mobility會逐漸變小，因為電場無法均勻地分配進去，所以分母修正項就是考慮電場非理想下的effective electricial field。
Threshold Voltage（臨界電壓）
所謂threshold voltage Vth，可以把MOSFET想像成理想的開關，當跨壓超過Vth，MOSFET就會導通，反之就會關閉。在一般的元件物理課本中，會假設MOSFET是long channel而且channel無限寬的情況，去解一維Poisson Equation，就會得到這一條方程式：
其中Vth0是zero bias的threshold voltage，其他的一些數，簡單地說就是跟材料有關。
在BSIM3，threshold voltage Vth公式如下：
其中，第一項是Vth0，第二、第三項是垂直方向非均勻doping的修正，第四項是水平方向非均勻doping的修正，第五項是width不是無限大的修正，第六、第七項是drain induced barrier lowering的修正，第八項是短width&length的修正。
Saturation Current（飽和電流）
drain current（汲極電流）是MOSFET最主要的電流，其中操作在飽和區時候的電流最為重要，教科書上的公式為：
在BSIM3，saturation current Ids公式如下：
看下面這個簡化版的公式，後面二個括號其實就是傳統的(Vgs-Vth)^2，只是第一個括號(Vgs-Vth-Abulk*Vdsat)多減了Abulk*Vdsat，這項是修正Vds造成的bulk charge；而第二個括號(1+(Vds-Vdsat)/VA)多了(Vds-Vdsat)/VA，裡面的VA就是教科書上的Early voltage，這項就是說output resistance不是無限大的Early effect。