最密堆積

一言以蔽之：在立體空間中用相同球體所形成的最密堆積，密度可高達74%。

克卜勒猜想

老闆在中秋節送了員工每人一箱水果，箱子很大很美觀，但裡面防撞的報紙不少，裝的水果倒是沒幾顆（沒辦法，這二年的通貨膨脹太嚴重了），於是我們玩起了遊戲，把數箱的棗子合併擠進盡可能少的箱子內。

如果把每一顆水果都當成一樣大的球，那這個問題等效就是「在三維空間中，要如何排列出最多的球體」，像這種知名的問題，早就有人探索過了。十七世紀發表行星三大運動定律的克卜勒，他猜這題的答案是：最多可以塞到全部空間的74%，史稱其為「克卜勒猜想」。

不過這個猜想一直沒有人能證明說對或是提出反例說錯，即便是傳奇的數學王子高斯，也只不過證明了一個特例限制下，上限是74%沒錯。所以這個猜想就一直卡住了，在1900年國際數學家大會，還被Hilbert列為23道最重要的數學問題其中之一——第18題。一直到了2014年，克卜勒猜想才被Hales證明。

最密堆積

要弄出最密堆積，先從第一層開始吧。考慮半徑為1的圓形，下圖左是像教室座位一樣整齊的排列，這個面積密度為π/4≈79%，但它並不是最密集的排列方法，因為每一張椅子旁邊只有四張椅子。下圖右才是最密堆積，每一張椅子旁邊有六張椅子，這方法的面積密度為π/2/Sqrt(3)≈91%，在1890年被Thue證明。

這種一格旁邊有六格鄰兵的設計，也被許多戰棋遊戲所採用。另外，雪花也是對稱的六角形結構——❄️。演唱會的椅子應該要這樣擺，空間利用率最高，而且後排的人可以從前一排二個人中間的縫隙看出去，比較不會被擋到。

接下來開始排第二層，考慮半徑為1的球體，第二層的排法也跟第一層一樣，只是第二層要向右向下各平移距離1，使得第二層球堆在第一層球與球的縫隙中，第三層如法炮製，再向右向下各平移距離1，結果如下圖，這種方法叫面心立方。

第三層也可以是第二層向左向上各平移距離1，也就是第三層在第一層正上方，這種方法叫六方晶系。

把面心立方的第一層叫A、第二層叫B、第三層叫C，那麼面心立方就是A/B/C/A/B/C/…不斷重複，而六方晶系就是A/B/A/B/…不斷重複。面心立方和六方晶系，都是球體的最密堆積，體積密度為π/3/Sqrt(2)≈74%。

自然界有許多原子的排列就是最密堆積，例如金、銀、銅是面心立方堆積，而鈹、鎂是六方晶系堆積，既然是最密的，所以常溫下多半是固體，而且是大多是作用力強的金屬。

更高維度的最密堆積

如果我們把裝球的最密堆積拓展到其他維度，這時『球』指的意思是空間中到一個固定點『球心』的距離不超過某個固定長度『半徑』，舉例來說：

我們知道一維、二維、三維空間的最密堆積方法，但不知道四維的最密堆積方法（註）。2016年Viazovska證明出八維和二十四維空間的最密堆積，因此獲得2022年的菲爾茲獎（此獎被稱為數學界的諾貝爾獎）。

註：其實數學家也有用類似的方法算出各維度的最密堆積，例如N=4~7分別為π²/16≈62%、π²/15/sqrt(2)≈47%、π³/48/sqrt(3)≈37%、π³/105≈30%，只是這些數字都還沒有被證明出來是最密的。