用鬼腳圖來抽籤

一言以蔽之:鬼腳圖是一種不公平的抽籤方式。

鬼腳圖

鬼腳圖,又稱為爬梯圖,就是看有幾個人要抽籤,就先畫幾條平行線,再於相鄰的平行線間任意畫幾條垂直的線。以一端為起點,另一端為終點,每個人選一個起點,走到終點就是抽中的項目。

在餐廳等上菜,小朋友不耐煩的時候,我就會拿這個遊戲出來玩,因為只需要原子筆在餐巾紙(克難一點衛生紙也可以)上畫一畫就可以了,道具隨手可得,而且還可以讓小朋友畫垂直的線,他們也會很有參與感。玩完以後,還可以解釋一下背後的原理。

問題一:每支籤都一定會有人抽中嗎?

是的,無論圖怎麼畫(只要滿足規則地畫、不要有交錯的線),鬼腳圖一定都是1-to-1 mapping。

先考慮一開始沒有垂直線的時候,本來就是一對一,後來每加入一條垂直線,都是那二條平行線的選項交換而已,所以最後還是一對一。

問題二:每種排列組合都會出現嗎?

這題的答案也是肯定的,也就是說,每個人都可能抽中所有的選項之一。

只要多畫幾條垂直線,多交換幾次,就可以排出所有想要的可能。

問題三:這個抽籤是公平的嗎?

答案是否定的,這也許就不跟小朋友解釋了,因為解釋完以後,下次就不能作弊了(笑)。

先考慮一開始沒有垂直線的時候,寶箱一定是C的。假設只加上一條垂直線,這條無論是加在AB之間、還是DE之間,寶箱還是C的。就算可以加上多條垂直線,但如果這些垂直線總是在畫在BC之間,不管畫幾條垂直線,寶箱總是B或C才能拿到。

現在有五個人要抽籤,所以有五條平行線,我寫了個程式模擬一下,在不同數量的垂直線下,來統計最後位子的機率,結果附在最後。

這個模擬結果顯示:

  • 不管垂直線有幾條,停留在原來的位子的機率總是最高,次高的機率是移動到隔壁位子,移動到越遠位子的機率越低。
  • 隨著垂直線數量的增加,機率會越來越平均。

因此在這個遊戲中,當寶箱在位子三,選擇C總是對的,而且還要主張少畫幾條垂直線,來維持你的優勢。那如果寶箱在位子一,而你剛好又是距離最遠的E,那就要主張多畫幾條垂直線,來平衡你的劣勢。

隨機畫4條垂直線位子1位子2位子3位子4位子5
49%33%14%4%0%
33%30%22%11%4%
14%22%27%22%14%
4%11%22%31%33%
0%4%14%33%49%
隨機畫8條垂直線位子1位子2位子3位子4位子5
37%30%19%10%5%
29%26%20%14%10%
19%20%21%20%19%
10%14%20%26%29%
5%10%19%30%37%
隨機畫12條垂直線位子1位子2位子3位子4位子5
31%27%20%13%9%
27%24%20%16%13%
20%20%20%20%20%
13%16%20%24%27%
9%13%20%27%31%
隨機畫32條垂直線位子1位子2位子3位子4位子5
22%21%20%19%18%
21%21%20%19%19%
20%20%20%20%20%
19%19%20%21%21%
18%19%20%21%22%