一言以蔽之：看起來很簡單的質數猜想，但證明都很難。
上次講了質數的定理，這次來講講質數的猜想（還沒被證明是真是假的叫猜想）。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想分成強的和弱的，強哥德巴赫猜想是關於偶數的：「任一大於2的偶數都可寫成二個質數之和」； 弱哥德巴赫猜想是關於奇數的：「任一大於5的奇數都可寫成三個質數之和」。
舉例來說，偶數2330=19+2311，19、2311都是質數，而且還可能有多種寫法，例如2330=37+2293。
為什麼叫強的和弱的哥德巴赫猜想呢？因為如果強的猜想被證明了，弱的猜想就自然被證明了。偶數n=p1+p2二個質數之和，奇數n+3=3+p1+p2三個質數之和。
弱哥德巴赫猜想在2013年已經被Helfgott證明了，數學家先用數學證明10^29以上的奇數都成立，然後用電腦暴力計算10^29以下的奇數也都成立，所以就得證了。
而強哥德巴赫猜想直到現在都還沒有被證明，目前最好的結果是1973年陳景潤發表的，陳氏定理說偶數n=a+b=p1+p2*p3，a是一個質數p1，b的質因數只有二個p2,p3。
孿生質數猜想
孿生質數是說，有二個質數相差2，例如(3,5)、(5,7)、(11,13)，就叫他們雙胞胎。類似地，也有表兄弟質數，就是二個質數相差4，例如(3,7)、(7,11)、(13,17)。還有六質數，就是二個質數相差6，例如(5,11)、(7,13)、(11,17)。
為什麼這些質數對的差都是偶數呢？因為質數除了2以外都是奇數，所以相差為1的質數對只有(2, 3)，相差為3的質數對只有(2,5)。
孿生質數猜想是什麼呢？就是說這種雙胞胎質數有無限多個。
兄弟是二等親，所以雙胞胎質數相差二；表兄弟是四等親，所以表兄弟質數相差四；我們不妨定義k等親質數對就是相差k，也就是(p,p+k)都是質數。k等親質數對有無限多個嗎？
對於這個質數對猜想，目前最成功的是張益唐，他在2013年證明了七千萬等親質數對有無限多個。大家會說：「什麼！七千萬，這個親戚也未免太遠了吧。」（但可別忘了弱哥德巴赫猜想的證明可是10^29呢～）不過很快地就有人遵循他的思路，到2014年已證明到246等親質數對有無限多個。
雖然已經到了246等親了，但距離二等親還有好長一段路要走。
黎曼猜想
黎曼猜想是說，ζ(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+…=0，除了-2,-4,-6,…這些解以外，其他解的實數部份都是1/2。這個猜想就比較難理解了，總之我們也不用管它，就只有知道它跟質數也很有關係就行了。
倒是ζ(s)函數在s=1和s=2的時候很特別，ζ(s=1)=1/1+1/2+1/3+…=Σ(1/n)，所有正整數的倒數和，這就是調和級數，答案是∞，中學有教過。而ζ(s=2)=1/1^2+1/2^2+1/3^2+…=Σ(1/n^2)，所有正整數平方的倒數和，是多少呢？這題叫巴塞爾問題，答案是π^2/6，由歐拉首先算出來的，想不到吧，答案居然跟圓周率有關。
數學家Hilbertsche在1900年舉行的國際數學家大會上，提出了23道未解的數學問題，其中的第八題就是哥德巴赫猜想、孿生質數猜想、黎曼猜想，直到現在都沒辦法解開。美國的Clay研究所在2000年也跟進，提出了七題千禧年難題，黎曼猜想就是其中的一題。