用鬼腳圖來抽籤

一言以蔽之：鬼腳圖是一種不公平的抽籤方式。

鬼腳圖，又稱為爬梯圖，就是看有幾個人要抽籤，就先畫幾條平行線，再於相鄰的平行線間任意畫幾條垂直的線。以一端為起點，另一端為終點，每個人選一個起點，走到終點就是抽中的項目。

在餐廳等上菜，小朋友不耐煩的時候，我就會拿這個遊戲出來玩，因為只需要原子筆在餐巾紙（克難一點衛生紙也可以）上畫一畫就可以了，道具隨手可得，而且還可以讓小朋友畫垂直的線，他們也會很有參與感。玩完以後，還可以解釋一下背後的原理。

問題一：每支籤都一定會有人抽中嗎？

是的，無論圖怎麼畫（只要滿足規則地畫、不要有交錯的線），鬼腳圖一定都是1-to-1 mapping。

先考慮一開始沒有垂直線的時候，本來就是一對一，後來每加入一條垂直線，都是那二條平行線的選項交換而已，所以最後還是一對一。

問題二：每種排列組合都會出現嗎？

這題的答案也是肯定的，也就是說，每個人都可能抽中所有的選項之一。

只要多畫幾條垂直線，多交換幾次，就可以排出所有想要的可能。

問題三：這個抽籤是公平的嗎？

答案是否定的，這也許就不跟小朋友解釋了，因為解釋完以後，下次就不能作弊了（笑）。

先考慮一開始沒有垂直線的時候，寶箱一定是Ｃ的。假設只加上一條垂直線，這條無論是加在ＡＢ之間、還是ＤＥ之間，寶箱還是Ｃ的。就算可以加上多條垂直線，但如果這些垂直線總是在畫在ＢＣ之間，不管畫幾條垂直線，寶箱總是Ｂ或Ｃ才能拿到。

現在有五個人要抽籤，所以有五條平行線，我寫了個程式模擬一下，在不同數量的垂直線下，來統計最後位子的機率，結果附在最後。

這個模擬結果顯示：

• 不管垂直線有幾條，停留在原來的位子的機率總是最高，次高的機率是移動到隔壁位子，移動到越遠位子的機率越低。
• 隨著垂直線數量的增加，機率會越來越平均。

因此在這個遊戲中，當寶箱在位子三，選擇Ｃ總是對的，而且還要主張少畫幾條垂直線，來維持你的優勢。那如果寶箱在位子一，而你剛好又是距離最遠的Ｅ，那就要主張多畫幾條垂直線，來平衡你的劣勢。